LA CUESTIÓN DE WIGNER

“La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que bordea lo misterioso y no tiene explicación racional” (Eugene Wigner)

“Lo más incomprensible acerca del universo es que es comprensible” (Einstein)

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Wigner y el “Milagro”de las Matemáticas
Bajo el título “La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales”, el físico (premio Nobel) Eugene Wigner impartió una conferencia, en 1959, en la Universidad de Nueva York. Esta conferencia se publicó como artículo el año siguiente [Wigner, 1960] y tuvo un gran impacto al plantear la cuestión de la interrelación entre las matemáticas y las ciencias naturales, la física especialmente. Las ideas principales de Wigner eran las siguientes:

• No conocemos la razón por la que las matemáticas son tan útiles para describir los fenómenos físicos; por qué la naturaleza se puede describir con tanta precisión con las matemáticas. Es un misterio que no tiene una explicación racional.
  
  
• Wigner se une al coro que ha repetido durante siglos la famosa frase de Galileo (entre ellos, Newton y Einstein): “El libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas”. Pero hace dos observaciones:
  
  
  1. Solo algunos conceptos matemáticos se usan en la formulación de las leyes de la naturaleza, dando a entender que las matemáticas abarcan algo más.
     
     
  2. Los conceptos matemáticos no se seleccionan arbitrariamente ni son útiles accidentalmente. Son útiles porque forman parte del propio lenguaje de la naturaleza. Cita como ejemplos la segunda ley del movimiento de Newton (F = m*a), la formulación matricial de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica.
  
  
• Sorprende que un físico “tropiece” con un concepto matemático que mejor describe un fenómeno, y resulta que un matemático ya había desarrollado el mismo concepto de manera independiente. Wigner cita como ejemplos:
  
  
  • Los números complejos, que son absolutamente necesarios para la formulación de las leyes de la mecánica cuántica. No son un mero instrumento de cálculo.
    
    
  • El espacio de Hilbert, una generalización del concepto de espacio euclídeo que permite espacios de cualquier dimensión, incluso infinita. El espacio de Hilbert es también de una importancia crucial para la formulación matemática de la mecánica cuántica.
    
    
  • La geometría de Riemann, que Einstein utilizó en su teoría de la relatividad generalizada para el espacio de 4 dimensiones (las 3 dimensiones del espacio y el tiempo).
  
  
• La estructura matemática de una teoría física a menudo señala el camino a posteriores avances de esa teoría e incluso a predicciones empíricas. Esto no puede ser una mera coincidencia, por lo que debe existir una conexión profunda entre la matemática y la física.
  
  
• Los conceptos matemáticos son generales, pues tienen aplicación más allá del contexto en el que fueron desarrollados, pudiendo describir un gran número de fenómenos. Y pone dos ejemplos:
  
  
  1. La ley de la gravitación. Inicialmente se utilizaba para modelar la caída libre de los cuerpos sobre la superficie de la tierra. Pero esta ley fue extendida para describir el movimiento de los planetas, que ha demostrado ser precisa, más allá de lo razonable.
     
     
  2. Las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Se establecieron para modelar los fenómenos electromagnéticos conocidos en el año 1865, fecha de su publicación. Estas mismas ecuaciones sirvieron también para describir las ondas de radio, descubiertas por Heinrich Hertz en 1887.
  
  
• Se pregunta si las matemáticas pueden ayudar a determinar la teoría correcta o más apropiada a aplicar a un determinado fenómeno físico. El problema es que algunas teorías que sabemos que son falsas también dan buenos resultados. Cita como ejemplos el primitivo modelo atómico de Bohr, los epiciclos de Ptolomeo y la teoría del electrón libre.
  
  
• Wigner concluye que el lenguaje matemático es el apropiado para la formulación de las leyes de la física y que se trata de un regalo que ni entendemos ni merecemos.

Las explicaciones parciales de Hamming a la cuestión de Wigner

Richard Hamming [1980] −el creador del código de corrección de errores que se lleva su nombre− proporcionó cuatro explicaciones parciales a la cuestión planteada por Wigner, aunque reconoció que la cuestión esencial queda todavía sin contestar:

1. Los humanos ven lo que buscan. La ciencia no se fundamenta solo en la experiencia, pues también depende de las “gafas” que utilicemos, la forma de mirar los fenómenos. Muchas leyes físicas se pueden deducir intelectualmente. Eddington iba más allá al afirmar que una mente suficientemente sabia podría ser capaz de deducir toda la física sin apoyarse en la experiencia. Hamming da cuatro ejemplos de fenómenos físicos no triviales que surgen de las herramientas matemáticas empleadas y no de las propiedades intrínsecas de la realidad física:
   
   
   • Galileo descubrió la ley de la caída de los cuerpos, no solo experimentalmente, sino también por reflexión intelectual, por razonamiento lógico. Por combinar matemáticas y experimentación, Galileo es considerado el padre de la ciencia moderna.
     
     
   • La ley de la gravitación universal, regida por el inverso del cuadrado de la distancia se deduce de la ley de conservación de la energía y de las 3 dimensiones del espacio. El propio exponente (2) es más un reflejo del espacio euclidiano que de las propiedades del campo gravitacional.
     
     
   • El principio de incertidumbre de la mecánica cuántica se sigue de las propiedades de las integrales de Fourier y suponiendo la invarianza del tiempo.
     
     
   • Las teorías de la relatividad de Einstein (la especial y la general) fueron el resultado de explorar teorías posibles con herramientas matemáticas, sin experimento alguno (solo considerando el conocido resultado del experimento de Michelson-Morley, la invariancia de la velocidad de la luz). Einstein creía más en la verdad matemática que en la verdad física (si las observaciones eran inconsistentes con sus teorías, la culpa era de las observaciones).
   
   
2. Los humanos crean y seleccionan las matemáticas que mejor se ajustan a cada fenómeno. Por ejemplo, los escalares no eran adecuados para representar las fuerzas, por lo que hubo que inventar los vectores y los tensores.
   
   
3. Las matemáticas solo cubren una parte de la experiencia humana. Gran parte de la experiencia humana no cae bajo la matemática, sino bajo la filosofía de los valores (ética, estética, etc.). Se necesita una perspectiva más amplia.
   
   
4. La evolución ha suministrado el modelo, de tal forma que los humanos que han tenido los mejores modelos de la realidad son los que han sobrevivido. Pero la evolución puede habernos bloqueado en algunas direcciones, por lo que “quizás hay pensamientos que no podemos pensar”.

Física vs. Matemática
El tema de la relación entre el mundo abstracto de la matemática y la física (que pretende describir el universo) es un tema recurrente de la filosofía de las matemáticas. La idea en general de que el universo es matemático en algún sentido, se remonta a los antiguos griegos, que consideraban a la matemática una ciencia superior.

• Pitágoras llegó a la conclusión de que el número era la esencia de la realidad, y que las matemáticas era el camino para entender el universo. Los mismos mecanismos que explican la realidad matemática explican la realidad física. La naturaleza se puede estudiar matemáticamente.
  
  
• Platón decía que los objetos matemáticos existían en una dimensión superior (el reino de las Ideas o de las Formas), siendo los objetos físicos una proyección imperfecta de ese reino superior e ideal.
  
  
• Kepler, como Pitágoras, creía que el universo solo podía entenderse a través de las matemáticas. Descubrió sus famosas tres leyes del movimiento planetario, leyes que eran matemáticas y simples.
  
  
• Galileo, en su obra “Diálogo sobre los Grandes Sistemas del Mundo”, expone tres postulados: 1) Hay leyes universales, de carácter matemático; 2) Estas leyes pueden ser descubiertas mediante experimentación; 3) Estos experimentos pueden ser replicados.
  
  
• Descartes creía que la física era una rama de las matemáticas: “No se requieren otros principios en física que los utilizados en geometría o matemática abstracta, ni deberían ser deseados, pues todos los fenómenos naturales se explican con ellos”.
  
  
• Para Berkeley, la realidad es fundamentalmente mental. El mundo físico es un constructo derivado, un resultado del mundo mental.
  
  
• Para Kant, el mundo matemático es un producto del mundo mental.
  
  
• Einstein decía que “Lo más incomprensible del universo es que es comprensible. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, es tan admirablemente apropiado a los objetos de la realidad?”. Einstein se lamentaba a menudo de no saber más matemáticas, pues sabía que las matemáticas abren las puertas a la comprensión de los fenómenos físicos y a la creatividad.

Características de la matemática en relación a la física

• La física teórica.
  La física intenta comprender el universo mediante la construcción de un modelo matemático y conceptual de la realidad. Su núcleo principal es la denominada “física teórica” o “física matemática”, una disciplina puente entre física y matemática orientada a formular matemáticamente los fenómenos de la naturaleza. Hitos de esta disciplina son: la formulación de la mecánica analítica (Joseph-Louis de Lagrange y William Rowan Hamilton), una formulación abstracta y general de la mecánica, así como las revoluciones cuántica y relativista. Los grandes avances de la física del siglo XX, principalmente en teoría cuántica y relatividad, se deben en gran medida a la física teórica.
  
  
• Trascendencia del mundo físico.
  La matemática es más universal, más general que la física, trasciende al mundo físico. “El lenguaje matemático abre una ventana virtual a espacios que están más allá de nuestro mundo físico tridimensional” (Marcus du Sautoy). Por ejemplo, la matemática permite trabajar con más de tres dimensiones.
  
  
• Universalidad.
  En general, hay una tendencia hacia la matematización de las ciencias, la física especialmente. La razón estriba en que la matemática permite contemplar las cosas desde un punto de vista general o universal, favoreciendo así el poder relacionar todo desde un punto de vista superior.
  
  
• Capacidad predictiva.
  Las matemáticas tienen capacidad predictiva, pues facilitan el camino hacia nuevos descubrimientos y fenómenos aún no observados experimentalmente. Ejemplos:
  
  
  • La famosa ecuación de Dirac (que describe partículas elementales de espín ½, como el electrón), formulada en 1928, al admitir más de una solución, postuló la existencia de antimateria, años antes de que se descubriera la primera partícula de este tipo (el positrón, la antipartícula del electrón) en 1932. Esto se consideró un gran triunfo de la física teórica o física matemática. La ecuación de Dirac también predice los monopolos, todavía no descubiertos. Dirac decía que había que interpretar las entidades matemáticas en términos de entidades físicas.
    
    
  • La bomba atómica fue una predicción de la física teórica.
    
    
  • En los aceleradores de partículas se buscan partículas y fenómenos (la partícula de Higgs, microagujeros negros, etc.) predichas por modelos teóricos.
  
  
• Simetría.
  Las estructuras simétricas son las más estables y eficientes. “Extensas áreas de las matemáticas, de la física y de la química pueden explicarse basándose en la simetría subyacente de las estructuras implicadas”. “La simetría no solo es una precursora del significado y del lenguaje, sino que es además el camino que sigue la naturaleza para resultar eficaz y económica” (Marcus du Sautoy).
  
  
• Simplificación.
  Utilizando conceptos matemáticos genéricos y de alto nivel de abstracción, la descripción de los fenómenos físicos se simplifica. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, que en notación vectorial son cuatro ecuaciones, se reducen a una sola en el álgebra de Clifford. Siempre se debe de buscar la simplicidad utilizando conceptos de alto nivel de abstracción.

Los Tres Mundos
Los “Tres Mundos” de Penrose

Para Roger Penrose [2006], la realidad es una unidad estructurada en tres mundos: “Vivimos una única realidad con tres dimensiones, matemática, física y psíquica, unificadas en el hombre”.

1. El mundo físico.
   Tiene su fundamento ontológico en el mundo matemático. Es un mundo externo, el de la realidad sensible y perceptible a través de las sensaciones. El mundo físico es una manifestación del mundo matemático. Hay una dependencia profunda del mundo físico con respecto al mundo matemático. La explicación física del mundo se fundamenta en las matemáticas.
   
   
2. El mundo psíquico.
   Es un mundo de experiencias internas, personales e intersubjetivas. La conciencia es una propiedad psíquica, pero solo de algunos seres del mundo físico. Existe una interrelación entre el mundo psíquico y el matemático, que cierra el ciclo entre los tres mundos. Los tres mundos se necesitan mutuamente y se complementan.
   
   
3. El mundo matemático platónico.
   Penrose es un platonista convencido. Las matemáticas habitan en el mundo del Ser, un mundo atemporal, armónico, ideal y perfecto. Es un mundo inteligible, en sentido racional e intuitivo. Las entidades matemáticas poseen una existencia que solo pueden ser descubiertas por la inteligencia y la intuición. El fundamento ontológico del mundo físico es matemático. El hombre es el único ser capaz de contemplar las realidades matemáticas.

Penrose admite que estos mundos pueden ser reflejo o manifestación de una realidad superior o más profunda.


El “Tercer Reino” de Frege

Frege, en “Der Gedanke” (La Idea), Frege afirma que existe un mundo de objetos no sensibles e independientes, que denomina “Tercer Reino” (Drittes Reich).

Según Frege, existen tres mundos o reinos:

1. El mundo físico exterior, objetivo y sensible.
   
   
2. El mundo mental interior de las ideas, los procesos mentales y las representaciones psicológicas, de tipo subjetivo. El mundo mental es ontológicamente superior al mundo físico.
   
   
3. El mundo de los conceptos y entidades ideales de tipo lógico, un mundo objetivo y atemporal, que es independiente de las mentes subjetivas individuales, que está por encima de los mundos físico y mental y que es independiente de la mente humana. Por ejemplo, los números son entidades de tipo lógico que residen en el Tercer Mundo, que son independientes de todo proceso y representación psicológicos.

Para Frege, las entidades matemáticas y lógicas son entidades reales, objetivas que moran en el Tercer Mundo. Es un mundo que está más allá del físico y el mental, un mundo abstracto, que es real, verdadero, eterno, no-sensible e invisible. Es un mundo arquetípico del que emerge el mundo físico y el psíquico. Es el mundo de donde de donde emergen todas las leyes. “Las leyes de la aritmética no son leyes de la naturaleza, sino leyes de las leyes de la naturaleza, esto es, principios fundamentales acerca de lo pensable”. Es una especie de reino platónico real, objetivo y eterno, donde viven las entidades matemáticas que tienen existencia propia, independientemente del mundo físico y mental.

Frege también se opuso al psicologismo, la idea de que los números (o los entes matemáticos en general) son contenidos mentales subjetivos. La matemática no está subordinada a la psicología, sino por encima de ella.

El sentido no es algo subjetivo, es decir, no pertenece a la mente del individuo, sino que es una entidad objetiva, ontológicamente independiente y compartida por una comunidad de hablantes. El sentido es una noción abstracta, no psicológica. Reside en el Tercer Mundo.

Para Frege, las expresiones formales abstractas tienen significado, son objetivas y pertenecen al Tercer Mundo. Rechazó el formalismo de la aritmética, según el cual el número y las expresiones aritméticas son un mero juego de símbolos sin significado, sin sentido. Con la idea del Tercer Mundo, Frege se alineó con el realismo platonista.

Para Frege, la verdad lógica solo se predica de las relaciones lógicas entre los objetos matemáticos del reino platónico lógico-matemático. La referencia y la verdad conectan el lenguaje con la realidad. Las expresiones lingüísticas simples se refieren a elementos simples de la realidad (objetos, individuos, etc.) y las proposiciones se corresponden con hechos, que pueden ser verdaderos o falsos. La referencia de una proposición es su valor de verdad.

Frege postuló el platonismo matemático al afirmar en su obra “Fundamentos de la Aritmética” que la objetividad de los conceptos está disociada de la cognición del sujeto. Consideraba a la matemática como una ciencia del dominio platónico de los conceptos y los objetos matemáticos. “Los matemáticos, como los geógrafos, no pueden crear algo de nada”. La matemática es el lenguaje del pensamiento. Con el poder del pensamiento captamos o aprehendemos los objetos matemáticos. “En la aritmética nos ocupamos de objetos que no nos vienen dados desde fuera, como algo extraño, gracias a la mediación de los sentidos, sino que son dados directamente a la razón, la cual los puede contemplar como lo más profundo de sí misma”.


Los “Tres Mundos” de Popper

Según Popper, existen 3 mundos:

1. El mundo exterior: las entidades físicas (la realidad objetiva y corpórea), el mundo físico, químico y biológico.
   
   
2. El mundo interior: el no corpóreo de las entidades mentales, el mundo psicológico, incluyendo las experiencias subjetivas e inconscientes.
   
   
3. Los productos de la mente humana, que son entidades que tienen existencia propia. Es el mundo de la cultura, incluyendo todos los productos del intelecto humano (los contenidos filosóficos, científicos, artísticos, etc.). Las teorías científicas y las leyes lógicas pertenecen al tercer mundo. Este mundo es el más valioso y productivo.

Estos 3 mundos interactúan entre sí. Los mundos 2 y 3 son capaces de interactuar cn el mundo 1. La interacción entre el mundo 3 y el mundo 1 se realiza a través del mundo 2.

Según Popper, el tercer mundo es un mundo objetivo sin sujeto cognoscente. La prueba está en que estos objetos pueden producir efectos causales o manifestarse en los mundos 1 y 2. Por ejemplo, una escultura no es solo un objeto del mundo 1, sino que es el resultado de un proyecto planeado y elaborado en el mundo 3. Y dos ejemplares de un libro (que son objetos distintos porque ocupan espacios diferentes) son el mismo libro en el mundo 3. Siguiendo este razonamiento, podríamos decir que solo hay un único ADN en el mundo 3 y múltiples manifestaciones en el mundo 1. Esto va en la misma línea de lo que propuso John Wheeler de que hay un solo electrón, y que esa es la causa de la indistinguibilidad de los electrones (todos tienen la misma carga y la misma masa).

Popper estableció analogías entre la evolución cultural y la biológica, al señalar las semejanzas existentes entre el proceso de progreso científico y la selección natural. En su obra “La lógica de la investigación científica” (1934) proponía una teoría del conocimiento basada en el ensayo y error, es decir, por selección darwiniana.

Popper no creía en la causalidad descendente, sino en la ascendente: la naturaleza es creativa, siendo el hombre el resultado supremo de esta creatividad. El hombre es un fenómeno emergente, el resultado de un proceso de evolución gradual de la naturaleza. La mente y la conciencia son epifenómenos del cerebro.

La concepción de Popper se diferencia respecto a los 3 mundos de Penrose en que para éste, el mundo 3 es el mundo de las matemáticas.


MENTAL, el Tercer Mundo: Una Teoría de Todo
Los arquetipos primarios: la clave de la respuesta a la cuestión de Wigner

MENTAL, al basarse en arquetipos de la conciencia, proporciona una respuesta simple a la cuestión planteada por Wigner, desvelando y clarificando la relación profunda existente entre matemática y física. En efecto, podemos distinguir 3 niveles de la realidad:

1. La conciencia es la fuente de fuente de todas las posibilidades y de todo lo que existe.
   
   
2. Los mundos posibles (manifestados y no manifestados). Entre los manifestados está nuestro universo.
   
   
3. MENTAL es el mundo que conecta los dos anteriores, el mundo de los arquetipos primarios, el reino abstracto de todas las posibilidades. Es la estructura común, la Constitución (o Carta Magna) de todos los mundos posibles.

Los arquetipos de la conciencia conectan lo interior con lo exterior. Es el tercer factor, el tercer mundo. Desde la conciencia, ontología es lo mismo que epistemología. El significado emerge de la conexión entre mundo interno y mundo externo a través de los arquetipos de la conciencia.

Las primitivas de MENTAL son arquetipos primarios, un concepto equivalente a las Ideas platónicas. Los arquetipos primarios son inexpresables y trascendentes, de los que solo podemos ver sus manifestaciones concretas. Las expresiones de MENTAL, que son manifestaciones de los arquetipos primarios, se pueden considerar que residen también en un Tercer Reino de entidades abstractas, pues no son ni físicas ni mentales. Así que podemos identificar el Tercer Mundo con el mundo arquetipal, un mundo real, objetivo y profundo que se manifiesta a nivel físico y mental.

Para Popper hay 3 mundos. Pero según el principio universal de causalidad descendente, solo hay una realidad profunda y todo lo demás son manifestaciones.

El Tercer Mundo es real, existe y está constituido por todas las posibles expresiones que pueden formarse. Es lo que hemos simbolizado por @ (la expresión universal o el universo de las expresiones). Cuando escribimos una expresión, estamos accediendo a algo que ya existe.

MENTAL es un mundo en si mismo a explorar. Es autónomo. Subyace en todo lo manifestado a nivel físico y mental. MENTAL es el tercer mundo, el mundo subyacente, un mundo real, objetivo, ya existente a priori. Son todas las posibilidades (todas las posibles expresiones), que ya existen. El universo es una de las posibles manifestaciones.

Los arquetipos de MENTAL no se pueden expresar (como tampoco la conciencia), solo se pueden intuir, pues pertenecen a un nivel profundo. Solo se pueden expresar mediante ejemplos, es decir, “materializaciones” o particularizaciones a nivel superficial de estos arquetipos primarios.

MENTAL va más allá de la mera metáfora del mundo físico. MENTAL conecta mente y naturaleza. Por eso es un modelo de la mente, de la naturaleza y de los mundos posibles. El juego de instrucciones o primitivas de MENTAL son comunes a la mente y a la naturaleza. Mente y naturaleza comparten los mismos arquetipos primarios.

MENTAL va más allá del mundo matemático. La matemática y la informática son dos de sus manifestaciones.

Para Galileo, la naturaleza es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas. Para Zuse, Fredkin y Wolfram, la naturaleza está escrita en el lenguaje de la computación, en el lenguaje de los ordenadores. Pero ambas posturas tienen razón, pues el universo comparte los mismos principios o arquetipos que la matemática, la informática y la mente humana. La verdad reside en lo profundo y, en ese lugar, no hay distinciones ni diferencias ni fronteras; todo es la misma cosa. Mente y naturaleza son, en esencia, la misma cosa. El modelo de la mente y el modelo del universo son análogos (o sincronísticos) porque ambos son manifestaciones de los mismos arquetipos primarios. “La estructura objetiva del universo y la estructura intelectual del ser humano coinciden” (Papa Benedicto XVI).

MENTAL es conciencia y crea conciencia. En general, cuando utilizamos la matemática estamos elevando nuestra conciencia. MENTAL proporciona un punto de vista profundo (o superior), donde todo tiene sentido y significado. La verdad matemática reside en lo profundo: en los arquetipos primarios.

Por lo tanto, a la pregunta clave (¿Por qué la matemática es tan útil para describir los fenómenos naturales?), estamos ahora en condiciones de proporcionar una respuesta:

Porque mente y naturaleza comparten los mismos arquetipos primarios. El universo es una particularización del Reino Matemático, que a su vez es una manifestación de los arquetipos primarios. Todo dentro de un mecanismo que va desde lo universal a lo particular, de lo profundo a lo superficial, de lo superior a lo inferior.

MENTAL es una “teoría de todo”:

• Es lo más profundo, a nivel abstracto, que podemos concebir.
• Une mundo matemático, mundo psíquico y mundo físico.
• Es el fundamento de la conciencia.
• Es la estructura profunda común de todas las cosas.
• Es la fuente de todas las manifestaciones.
• Sus primitivas son arquetipos primarios que conectan lo interno o profundo con lo externo o superficial.

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Bibliografía

• Barrow, John David. ¿Por qué el mundo es matemático?. Grijalbo, 1997.
  
  
• Hersh, Reuben. What is Mathematics, really?. Oxford University Press, USA, 1999.
  
  
• Livio, Mario. La irrazonable eficacia de las matemáticas. ¿Es la matemática una invención o un descubrimiento? Investigación y Ciencia, Nov. 2011, pp. 44-46.
  
  
• Peat, F. David. Mathematics and the Language of Nature. Internet.
  
  
• Penrose, Roger. El camino a la realidad. Una guía completa de las leyes del universo. Editorial Debate, 2006.
  
  
• Putnam, Hilary. What is Mathematical Truth? Historia Mathematica 2: 529–543, 1975.
  
  
• Sarukkai, Sundar. Revisiting the “unreasonable effectiveness of mathematics”. National Institute of Advanced Studies, Indian Institute of Science Campus, Bangalore 560 012, India. Disponible en Internet.
  
  
• Tegmark, Max. The Mathematical Universe. Internet: arΧiv:0704.0646.
  
  
• Tegmark, Max. Shut up and calculate. Internet: arΧiv:0709.4024 (versión reducida del anterior).
  
  
• Wigner, Eugene. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. En Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I, Febrero 1960. Disponible en Internet.